Las matemáticas en la lombricultura

Todos sabemos que la lombricultura, es la cría de lombrices para la producción de humus y la mejora de suelos y depende de varias variables ambientales como la temperatura, el pH, la humedad y la cantidad de oxígeno. Por esta razón haremos unos ejercicios que demuestren las aplicaciones práticas de la matemáticas en la lombricultura.

Aquí te dejo ejemplos de resolución de derivadas, ecuaciones de segundo y tercer grado, aplicando variables comunes en la lombricultura:

1. Derivadas: Tasa de cambio en la lombricultura

La temperatura y el pH afectan directamente la actividad de las lombrices. Si tenemos una función que modela la producción de humus (H) en función del tiempo (t):

H(t)=5t^2−0.5t^3

Podemos calcular la derivada H′(t) para observar cómo cambia la producción de humus con el tiempo.

Producción de humus y su tasa de cambio (H(t) y H′(t)

• Función H(t)=5t^2−0.5t^3:
  • La producción de humus crece inicialmente, alcanza un máximo, y luego disminuye debido al término negativo (−0.5t^3).
  • Esto simula un sistema donde el crecimiento no puede ser infinito (por ejemplo, los recursos para las lombrices se agotan o las condiciones empeoran).
• Derivada H′(t):
  • La pendiente positiva al inicio indica un aumento en la tasa de producción.
  • La tasa alcanza un pico antes de descender hacia cero y hacerse negativa, reflejando un punto de saturación en la producción.
• Interpretación práctica:
  Se pueden identificar los momentos óptimos para intervenir en el sistema (por ejemplo, renovar material orgánico para evitar la caída de la producción).

2. Relación entre pH/Temperatura y tasa de reproducción

Podemos modelar cómo el pH (x) y la temperatura (T) interactúan para determinar la tasa de reproducción de las lombrices (R):

• Ecuación de segundo grado:

R(x) = -x^2 + 6x – 8

• Ecuación de tercer grado:

R(T)=0.1T^3−2T^2+15T−30

Estas ecuaciones pueden representarse gráficamente para identificar valores óptimos de pH y temperatura.

a) Tasa de reproducción frente al pH (R(x)=−x^2+6x−8

• Es una parábola invertida con un máximo en x=3.
• A pH≤2 o pH≥6 , la tasa de reproducción se vuelve negativa o nula, indicando condiciones poco favorables.
• Condición óptima: pH=3, donde la reproducción de lombrices es máxima.

b) Tasa de reproducción frente a la temperatura (R(T)=0.1T^3−2T^2+15T−30)

• Es una función cúbica, con múltiples cambios de tendencia:
  • Inicialmente crece (a temperaturas bajas).
  • Alcanza un máximo (temperatura óptima), pero luego disminuye a temperaturas elevadas.
  • Eventualmente se vuelve negativa, indicando que temperaturas extremas son perjudiciales.
• Interpretación práctica:
  • La temperatura afecta la reproducción más dinámicamente que el pH.
  • Podríamos buscar el rango de temperaturas donde R(T)>0 para mantener un ambiente favorable.

3. Estadísticas: Análisis de datos

Usaremos datos simulados de un cultivo de lombrices. Ejemplo:

Día	Temperatura (°C)	pH	Humus producido (kg)
1	20	6.5	2.3
2	22	6.8	2.7
3	24	7.0	3.0
4	26	7.5	3.4
5	28	7.8	3.8

Haremos análisis como:

• Promedio y desviación estándar.
• Correlación entre temperatura/pH y producción de humus.

1. Promedios

• Temperatura: \bar{T} = 24.0 \, ^\circ \text{C}
  (Temperatura promedio en los datos simulados).
• pH: pHˉ=7.12
  (pH promedio, en un rango generalmente favorable para lombrices).
• Humus producido: Hˉ=3.04 kg
  (Promedio de humus producido por día).

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2. Desviaciones estándar

• Temperatura: \sigma_T = 2.83 \, ^\circ \text{C}
  (Los valores de temperatura tienen una dispersión moderada).
• pH: σpH=0.47
  (Los valores de pH están más concentrados cerca del promedio).
• Humus producido: σH=0.52 kg
  (El humus producido varía ligeramente entre días).

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3. Correlaciones

• Entre temperatura y humus producido: r=0.999
  (Correlación casi perfecta, indicando que el aumento de temperatura favorece fuertemente la producción de humus).
• Entre pH y humus producido: r=0.994
  (También una correlación muy alta, sugiriendo que un pH en el rango favorable mejora la producción).

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Interpretación práctica

1. Temperatura y pH tienen una influencia positiva muy fuerte sobre la producción de humus.
2. Las condiciones óptimas de temperatura y pH deberían priorizarse para maximizar la productividad en la lombricultura.

Relación entre variables y producción de humus:

• Los puntos rojos representan la relación entre temperatura y producción de humus.
• Los puntos azules representan la relación entre pH y producción de humus.

Temperatura vs Humus:
A medida que la temperatura aumenta, la producción de humus tiende a crecer, lo que puede indicar que las lombrices trabajan mejor en ambientes más cálidos (dentro de un rango seguro).

pH vs Humus:
El aumento del pH está correlacionado positivamente con la producción de humus, pero más allá de cierto punto, se podría esperar una saturación o incluso disminución (en pH extremos).

Conclusiones

1. Producción de humus y su tasa de cambio:
   • La producción de humus sigue una curva que crece rápidamente al inicio, alcanza un máximo y luego disminuye. Esto refleja la dinámica real en sistemas de lombricultura donde los recursos iniciales favorecen el crecimiento, pero eventualmente se saturan.
   • La tasa de cambio (H′(t) permite identificar los momentos críticos para intervenir, como agregar más materia orgánica o ajustar condiciones.
2. Relación entre pH y temperatura con la tasa de reproducción:
   • pH:
     • La tasa de reproducción sigue una parábola invertida (R(x)=−x2+6x−8), mostrando que un pH alrededor de 6.5-7 es óptimo.
     • pH por debajo de 3 o por encima de 9 reduce drásticamente la reproducción, lo que puede detener la producción de humus.
   • Temperatura:
     • La relación es más compleja, representada por una función cúbica R(T) = 0.1T^3 – 2T^2 + 15T – 30.
     • Hay un rango de temperatura óptimo para maximizar la reproducción, con un declive severo a temperaturas extremas.
3. Estadísticas descriptivas:
   • Los valores promedio muestran condiciones favorables en los datos:
     • Temperatura promedio: 24∘C.
     • pH promedio: 7.12.
   • Las correlaciones muy altas entre temperatura/pH y humus producido (r>0.99) confirman que ambas variables son críticas para la productividad.
4. Aplicaciones prácticas:
   • Las gráficas y cálculos indican cómo ajustar el pH y la temperatura para maximizar la producción de humus.
   • Por ejemplo, mantener un pH cercano a 7 y temperaturas entre 20−28∘C sería ideal.
   • Monitorear los cambios en tiempo real usando las tasas derivadas puede optimizar los procesos.

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Recomendaciones:

• Implementar sistemas de monitoreo para controlar el pH y la temperatura regularmente.
• Establecer límites operativos basados en los datos, asegurando que las condiciones no alcancen valores extremos.
• Usar los modelos matemáticos presentados para predecir y planificar la producción.